Hola chicos(as) primero que nada se ha hecho este blog con el fin de apoyar a todo aquel que lleve esta materia de probabilidad y estadística o todo aquel que esté interesado en saber más de ella.

Se presentan diversos temas muy interesantes, ejemplos de problemas en los cuales logres comprender cada tema propuesto.

Ojala sea de gran ayuda.

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una teoría matemática, que estudia a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y a otros objetos denominados no conjuntos.

Los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

1. Si X no tiene elementos, entonces X es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

2. Si X es un conjunto, entonces X es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.

La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la matemática.Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades:

* par ordenado * función * partición * orden * estructuras algebraicas *los naturales *los enteros

*relación *los racionales *los reales *los complejos etc.

Términos básicos de la teoría de conjuntos

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:

Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada. Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos de conjuntos.”Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto.”

Relación de pertenencia: El “ser elemento de” es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos. Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto

PARA COMPRENDER MEJOR

OPERACIONES DE CONJUNTOS

1.-UNION DE CONJUNTOS: La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos

elementos son todos los elementos de A o de B:

La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪B que contiene todos los elementos de A y de B.

Unión de dos conjuntos

2.-INTERSECCION DE CONJUNTOS: la interseccionde conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos A Y B.

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:

Intersección de dos conjuntos A y B.

La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los elementos que pertenecen tanto a A como a B.

3.-COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: El complementario de A es otro conjunto A^C cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:

Complemento de un conjunto A.

El complemento de un conjunto A es otro conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (dentro del universo U) que no están en A.

4.-DIFERENCIA DE CONJUNTOS: La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A \ B (o también A − B) cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B:

Diferencia entre los conjuntos A y B y viceversa.

La diferencia entre los conjuntos A y B (y viceversa) es otro conjunto con todos los elementos del "minuendo", salvo los contenidos en el "sustraendo"

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD:

Experimento aleatorio:

conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

Espacio muestral:

conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Punto muestral o suceso elemental:

el resultado de una sola prueba de un experimento muestral

Suceso o evento:

cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes:

sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultáneamente .

Sucesos complementarios:

dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral

Sucesos independientes:

sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes:

sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

Ejercicios:

1.-En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaron Matemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos que no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente una de las materias mencionadas?

Solución: 10 estudiantes

2.-En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ningún idioma extranjero, 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés. ¿Cuántos estudian solo inglés?

Solución: 50 estudian solo ingles.

3.-.-En una encuesta realizada en la ciudad de Medellín, acerca de los medios de transporte mas utilizados entre bus, metro o moto, se obtuvieron los siguientes resultados: de los 3200 encuestados, 1950 utilizan el metro, 400 se desplazan en moto, 1500 van en bus, 800 se desplazan en bus y metro, además ninguno de los que se transporta en moto utiliza bus o metro.

1. El número de personas que solo utiliza el metro es.

2. Las persona que solo utilizan máximo 2 medios de transporte son.

Solución:

1) 1150 personas ocupan solo el metro

2) 800 personas utilizan máximo 2 medios de transporte.

4.-.-En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último 9 a las fiestas y al vino solamente.
Determinar:
a) El número de personas que es aficionada al vino solamente.
b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente.

Solución:

a) 11 personas que son aficionados al vino solamente

b) 19 personas que son aficionados a las fiestas solamente

5.-.-Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos.
Los resultados obtenidos son:
▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria.
▪ 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.
▪ 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.
▪ 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.
▪ 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.
▪ 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.
▪ 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.
Con la información anterior, deducir:
- El número de familias que solo tienen hijos universitarios.
- El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.
- El número de familias que tienen hijos que no estudian.

Solución:

1) 10 familias que solo tienen hijos universitarios

2) 38 familias que tienen hijos solo en 2 niveles

3) 27 familias que tienen hijos que no estudian

6.-.-El departamento de Ciencias Sociales de una universidad cuenta con 800 estudiantes, por lo que decidió realizar un estudio sobre el número de estudiantes que durante el actual semestre cursaran la asignatura de Metodología de la Investigación, Administración, y Estadística. A través de una encuesta, se obtuvieron los siguientes datos: Metodología 490, Administración 160 y Estadística 320. Metodología y Administración 90, Metodología y Estadística 22, Administración y Estadística 78. Determinar la cantidad de los que:

1. Estudian las 3 asignaturas.
2. Estudian solo Estadística.
3. Estudian Metodología y Administración. 4. Estudian Administración y Estadística.

Solución:

1) 20 estudian las 3 asignaturas

2) 240 estudian solo estadística

3) 90 estudian metodología y administración

4) 78 estudian administración y estadística.

7.-.- Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos:
- 80% tienen televisor.
- 90% tienen radio.
- 60% tienen cocina a gas.
- 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores.
- 55% tienen los tres artefactos.
¿Qué porcentaje de los encuestados poseen uno sólo de estos artefactos?

Solución: 21% posee uno sólo de estos artefactos

8.-.-De un grupo de 55 contratos internacionales, 25 son redactados en Inglés, 32 en Francés, 33 en Alemán y 5 en los tres idiomas. ¿Cuántos contratos han sido redactados en dos (02) de los referidos idiomas, sabiendo que todos pueden ser redactados por lo menos en uno de los tres (03) idiomas?

solución: 25 contratos son redactados en dos idiomas

9.-.-Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o más asignaturas de Matemática, Física y Química durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados: Matemática 329, Física 186, Química 295, Matemática y Física 83, Matemática y Química 217, Física y Química 63. Cuántos alumnos estarán inscritos en:

a) Los tres cursos
b) Matemática pero no Química
c) Física pero no matemática
d) Química pero no Física
e) Matemática o Química, pero no Física
f) Matemática y Química, pero no Física
g) Matemática pero no Física ni Química

Solución:

a) 53 en los tres cursos

b) 299 en matemática pero no química

c) 159 en física pero no matemática

d) 285 en química pero no física

e) 150 en matemática o química, pero no en física

f) 367 en matemática y química, pero no física

g) 82 en matemática pero no física ni química

10.- En un barco viajan 1 200 personas, de las cuales:

• Los 2/3 no fuman
• Los 4/5 no beben
• 680 no fuman ni beben
¿Cuántas personas fuman y beben?

A. 70

B. 58

C.72

D. 120

E. 68

11.-En una encuesta realizada en la ciudad de Medellín, acerca de los medios de transporte mas utilizados entre bus, metro o moto, se obtuvieron los siguientes resultados: de los 3200 encuestados, 1950 utilizan el metro, 400 se desplazan en moto, 1500 van en bus, 800 se desplazan en bus y metro, además ninguno de los que se transporta en moto utiliza bus o metro.

1. El número de personas que solo utiliza el metro es.

2. Las persona que solo utilizan máximo 2 medios de transporte son.

olución: 1) 1150 personas ocupan solo el metro

2) 800 personas utilizan máximo 2 medios de transporte.

12.-Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

Solución:

A U B = {1,2,3,4,6,8}

A U C = {1,2,3,4,5,6}

B U C = {2,4,6,3,5}

B U B = {2,4,6,8}

13.- En una reuniòn de trabajo de 30 personas se ofreciò jugo de lima y jugo de naranja; 2 se sirvieron jugo de lima, 10 jugo de naranja y 8 ninguna de las dos bebidas.¿cuantas de las personas bebiern jugo de lima y tambien jugo de naranja?

Soluciòn: n(U)= 30

Tenemos

(20 - x) + x + (10 - x) + 8=30

20 – x + x + 10 – x + 8=30

38-x=30 8 personas bebieron jugo de naranja y lima

-x=30-38

-x=-8

X=8

14.-En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente información:

431 empleados utilizan metro.

396 empleados utilizan autobús.

101 empleados utilizan metro y trolebús pero no autobús.

176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados.

341 utilizan trolebús.

634 utilizan metro o trolebús.

201 utilizan sólo metro.

¿Cuántos empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús?

¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados?

¿Cuántos empleados utilizan sólo trolebús?

¿Cuántos empleados utilizan metro, trolebús y autobús?

Respuesta: 428 empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús.

517 empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados.

126 empleados utilizan sólo trolebús.

37 empleados utilizan metro, trolebús y autobús.

15.-De 100 personas que visitaron el parque natural de Pucallpa, 55 visitaron el museo, 44 el zoológico y 20 ambas instalaciones.

¿Cuántas personas no visitaron el zoológico n el museo?

Solución:

Tenemos n(U) =100

X+35+20+24=100

X+79=100

X=100-79

X=21

Respuesta:

Tenemos que 21 personas no visitaron el museo y el zoológico

16.-determinar por extensión los siguientes conjuntos :

A= {Y/Y € N; 5 < Y <_ 9}

B= {2X + 1/ X € N; 3 <_ X < 6}

C= {1/2X /X € N; 2 <_ X <_ 4}

SOLUCION:

CONJUNTO A sus elementos tienen forma “Y” ¿Qué valores puedes asumir “Y”?

Puede asumir valores: 6, 7, 8,9.

Entonces: A= {6, 7, 8,9}

CONJUNTO B : sus valore tiene la forma “2x + 1” ¿Qué valores pueden asumir “x”?

Respuesta: pueden asumir los valores 3, 4, 5 entonces remplazamos en 2x + 1

Para x=3 2(3) +1 =7 para x=4 2(4) +1=9 para x =5 2(5)+1=11

CONJUNTO C: Sus elementos tienen la forma “1/2x” ¿Qué valore puede asumir “x”?

Para x=2 1/ 2(2)= ¼ para x=3 1/ 2(3) =1/6 para x=4 1/ 2(4) para x=5 1/ 2 (5)=1/8

C= {1/4, 1/6,1/8}

20.- Hacer un diagrama linel para los conjuntos A= { a, b, c}, B ={ a, b} y C = {a, c}

Solución: como A E B, A E C Y B Y C no son comparables no se puede realizar

7. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen

Solución
P(AUB) = 1/2 + 1/5 – 1/10 = 6/10 = 3/5.

18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Solución
Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)

	Hombre	Mujer	Total
Ojos castaños	5	10	15
Total	10	20	30

Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 10/30 + 15/30 – 5/30 = 2/3.

19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Solución

	Hombre	Mujer	Total
Casados	35	45	80
Solteros	20	20	40
Total	55	65	120

a) P(hs) = 20/120 = 1/6.
b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.

20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular:
a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

Solución

	Electricidad	Mecánica	Chapa	Total
Mañana	3	8	3	14
Tarde	2	3	1	6
Total	5	11	4	20

a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%
b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.